伽罗瓦的群理论的发现对现代数学产生了怎样的影响?
伽罗瓦理论不仅对近代代数学产生了深远影响，也渗透到数学的其他许多分支。伽罗瓦理论是以伽罗瓦的名字命名的，用群论观点研究代数方程求解的理论。它源于代数方程的根式解问题。早在公元前几世纪，巴比伦人用配方法解二次方程之后，经历两千多年的漫长岁月，直到16世纪意大利数学家才给出三次方程的求根公式，即卡尔达诺公式。伽罗瓦理论在1928年已由克鲁尔推广到无限可分正规扩域上；伽罗瓦理论不仅对近代代数学产生了深远影响，也渗透到数学的其他许多分支。伽罗瓦理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。是当代代数与数论的基本支柱之一，功勋卓越。基本内容1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。2、若K/F为伽罗瓦扩张，K上的F-自同构的集合构成一个群，定义为伽罗瓦群，记为Gal（K/F）。3、对于H是Gal（K/F）的子群，称K中在H中任意元素作用下不动元的集合为H的不动域，这是一个中间域。4、对于伽罗瓦扩张，扩张的中间域和伽罗瓦群的子群有一一对应的关系。5、F⊂E⊂K形式的伽罗瓦扩张，E/F是正规扩张当且仅当Gal（K/E）是Gal（K/F）的正规子群。6、在特征为0的域上，多项式的根可用根式解当且仅当其分裂域扩张的伽罗瓦群是可解群。广义上的伽罗瓦理论还包括尺规作图，诺特方程，循环扩张，库默尔理论等内容。
伽罗瓦是群理论的发现对现代数学产生了怎样的影响?
伽罗瓦是群理论的发现对现代数学产生了怎样的影响具体如下：伽罗瓦理论对近代数学的发展产生了深远影响,它已渗透到数学的很多分支中。伽罗瓦的思想对于现代数学的影响是巨大的,仅仅是引进群的概念已经足以永载史册,然而其影响远不止此。伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论,是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。这个理论可以推导出五次以上的一般代数方程根式不可解以及用圆规、直尺（无刻度的直尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。该理论的建立是代数学发展的里程碑，带来了代数学在研究对象、内容和方法上的重大革新。伽罗瓦发表了他的第一篇论文，是关于连分数的研究。伽罗瓦提出了群的概念，用群的理论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论。后人为了纪念他，将这套理论称之为伽罗瓦理论。伽罗瓦对1831年版本的手稿进行了修改，增添了一些旁注，并将该手稿托付给他的朋友舍瓦利耶。
伽罗瓦理论（一）
引言
19世纪前期代数舞台的中心仍然是求解多项式方程这一代数基本问题，伽罗瓦明确而透彻地回答了哪些方程可用代数运算求解。他不仅创立了表达清楚的代数理论中最重要的主体，而且引入了新概念，这些新概念又发展为其它有广泛应用的代数理论，特别是他和阿贝尔提到的群和域的概念。
二项方程
之前 说到欧拉、范德蒙、拉格朗日、鲁菲尼为了代数求解四次以上方程和二项方程x^n-1=0所做的不完整尝试，其中高斯做了一个重要成果，他考察方程x^p-1=0(p是素数)，这个方程通常称为分圆方程或对圆进行分割的方程，因为由棣莫弗定理，这个方程的根是
这些复数xk几何作图时就是单位圆上正p边形的顶点。
高斯证明这个方程根可用一个方程序列Z1=0,Z2=0,...的根有理表示，方程系数是之前方程根的有理函数。Zk=0的方程系数正好是p-1的素因子。对每个因子，即使是重复因子，都有对应方程，每个方程都能用根式解出，于是原方程x^p-1=0也能同样解出。
这个结果对代数求解一般的n次方程具有重要意义，它表明某些高次方程能用根式解出。例如设5是p-1的一个因子，则有一个5次方程能用根式解出。这个结果对作正p边形的几何问题也具有重要意义（秃然意识到高斯拿圆规画正17边形的故事是假的），因为Zk=0序列中每个方程的次数都是2，而它的每个根都可通过系数求出，因此可作出边数为素数p（p-1是2的2^n次幂）的正多边形。当p=3,5,15,257,65537...即具有 形式的素数（这个形式得到的p可能不是素数，必须要素数才行）时，正p边形可尺规作图。高斯说，早在欧几里得时期人们就知道3，5，15边形和它们衍生的3*2^n,5*2^n,15*2^n还有2^n（n为正整数）正多边形的几何作图，但2000年了都没发现新的可作图的正多边形，几何学家声称没有可以作出的正多边形了，这不还有吗。
他认为之后可能有人想找新的可作图的边数为素数的正多边形，于是警告说：当p-1包含2以外的素数因子，意味着得到高次方程，比如3是p-1的一次或多次因子，就得到一个或多个三次方程，可严密证明高次方程不依赖于低次方程。所以大家不要浪费时间找其它素数变数的正多边形作图，比如7，11，13，19边的多边形。
他断言当且仅当 ,p是形为 的不同素数，l是正整数或0，正n边形是可作图的，这个条件的充分性容易从高斯关于边数为素数的多边形工作得出，但高斯没有证明不容易得出的必要性。
高斯从1796年（19岁）起就对正多边形作图发生兴趣，那时他构思了正17边形可作图的第一个证明，这也是个很有名的故事了（好的，所以只是被以讹传讹了）：一天高斯带着证明找他哥廷根大学的老师Kästner，结果老师不相信，想把他打发走，也懒得检查他的证明，就直接告诉高斯作图法不重要，大家都知道实际该咋画嘛，当然Kästner很清楚实际或近似的作图法跟可作图理论根本是两回事（老糊弄学了）。高斯为了使老师产生兴趣，说自己曾经解出了一个17次的代数方程，Kästner说这是不可能的，高斯说他化简成解一个低次的方程了，结果还是被Kästner嘲笑了。Kästner还炫耀过自己的诗集，后来高斯就回敬称他是数学家中最好的诗人和诗人中最好的数学家。
伽罗瓦理论（四）
几何作图问题
伽罗瓦的工作提供了一个可作图的判别法，解决了一些著名问题。
尺规作图的每一步都要找一个交点（两条直线、一直线一圆或两个圆的交点），引入坐标几何后人们意识到这个步骤意味着解方程（两个线性方程、一个线性一个二次方程或两个二次方程），可能的最坏情况是在代数上为一个平方根，因此通过作图找到的量，最坏情况是施加于给定量上的一串平方根，它们位于由包含给定量的域仅添加给定量的平方根或后作出量的平方根所得到的域中，这样的扩张域称为二次扩张域。
作图时需要注意几个限制，比如某些步骤允许用任意直线或圆，如平分线段时能用大于线段一半的圆，必须在扩张域中选择这个圆；扩张域可以包含复元素，如负坐标的平方根，因为复量是实方程的根，因此复元素可作图。
对于一个作图问题，首先建立一个代数方程，它的解是要求的量，这个量必须属于给定量域的某个二次扩张域。比如正17边形的方程是x^17-1=0，给定量可以取为单位圆的半径，相关的不可约方程是x^16+x^15+...+1=0。用伽罗瓦理论的术语来说，一个方程能用平方根求解的充要条件是方程的伽罗瓦群的阶是2的方幂，比如x^16+x^15+...+1=0的合成序列是2,2,2,2，即预解式是次数为2的二项方程，从而仅添加平方根到原来由单位圆给定半径确定的有理域中。
伽罗瓦判别法证明了高斯的结论，即当且仅当素数p具有形式 即p=3,5,17,257,...时正p边形可用尺规作图，而p=7,11,13,19,23,29,31,...时无法尺规作图，伽罗瓦理论还能证明三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
但伽罗瓦判别法不适用于化圆为方的问题，即给定量是圆的半径，求解的方程是 ，虽然是二次方程，但它的解不属于由给定量确定的域的二次扩张域，因为pi是无理数。因此伽罗瓦的工作不仅回答了哪些方程可用代数求解，同时给出了一个一般判别法来判定几何图形能否用尺规作图。
在伽罗瓦理论以前，高斯和旺策尔(Wantzel)已经确定了哪些正多边形可作图，而且1837年旺策尔证明一般的角不能三等分，也不能作出体积是原立方体两倍的立方体，他证明每个可作图量必须满足一个2^n次的方程，而三等分角和倍立方体问题不满足这一条件。
